傅立葉變換對的定義如下：

　　公式假定了—個(gè)無限持續(xù)時(shí)間和帶寬的連續(xù)信號(hào)。對于實(shí)際的表達(dá)式還需要在時(shí)間和頻率上采樣，并且對幅值進(jìn)行量化。從實(shí)現(xiàn)的角度來講，我們更希望在時(shí)間和頻率上使用有限數(shù)量的采樣。這樣就產(chǎn)生了離散傅立葉變換（discrete fourier transform，dft），其中在時(shí)間和頻率上采用了ⅳ次采樣，根據(jù)：

　　如果用dft對傅立葉頻譜進(jìn)行近似，就必須記住在時(shí)間和頻率上采樣的影響，分別是：

　　·通過在時(shí)域上的采樣，可以得到采樣頻率為fs的周期性頻譜。正如“shannon采樣定理”所陳述的：只有在x（t）的頻率成份集中在一個(gè)低于奈魁斯特頻率fs／2的狹窄范圍內(nèi)的情況下，用dft近似傅立葉變換才是合理的。

　　·通過在頻域上的采樣，時(shí)間函數(shù)就變成了周期性的，也就是說dft假定時(shí)間序列是周期性的。如果對一個(gè)信號(hào)采用n次采樣dft，沒有在—個(gè)n次采樣窗函數(shù)內(nèi)完成整數(shù)個(gè)循環(huán)，就會(huì)產(chǎn)生一種稱為泄漏的現(xiàn)象。所以，如果可能的話，并且x（t）是周期性信號(hào)，就應(yīng)該選擇可以覆蓋整數(shù)個(gè)x（t）的周期采樣頻率和分析函數(shù)。

　　一種更為實(shí)用的降低泄漏的選擇方案就是采用在兩邊逐漸衰減為0的窗函數(shù)。圖1給出了一些典型窗函數(shù)的時(shí)間和頻率特性^[89，129]。

　　圖1 時(shí)域和頻域內(nèi)的窗函數(shù)

　　下面的一個(gè)示例說明窗函數(shù)的使用。

　　例 開窗操作

　　圖2給出了在其采樣窗口內(nèi)不能完成的整數(shù)周期的正弦信號(hào)。該信號(hào)理想的傅立葉變換應(yīng)該只包括兩個(gè)在±ω₀處的單位脈沖函數(shù)，如圖2（b）所示。圖2（g）和2（d）分別給出了用不同窗函數(shù)進(jìn)行dft分析的結(jié)果�？梢钥吹�，用邏輯框函數(shù)的分析比用hanning窗函數(shù)的分析多一些紋波。精確的分析也表明，用hanning分析的主平穩(wěn)寬度要大于用邏輯框函數(shù)（也就是無窗函數(shù)）分析所達(dá)到的寬度。

　　圖2 利用窗函數(shù)分析通過dft的周期函數(shù)

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