作者：劉桂華 傅佑麟 嚴(yán) 平

　　摘要：采用按時(shí)間抽選的基4原位算法和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字式計(jì)算機(jī)（CORDIC）算法實(shí)現(xiàn)了一個(gè)FFT實(shí)時(shí)譜分析系統(tǒng)。整個(gè)設(shè)計(jì)采用流水線工作方式，保證了系統(tǒng)的速度，避免了瓶勁的出現(xiàn)；整個(gè)系統(tǒng)采用FPGA實(shí)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)表明，該系統(tǒng)既有DSP器件實(shí)現(xiàn)的靈活性又有專用FFT芯片實(shí)現(xiàn)的高速數(shù)據(jù)吞吐能力，可以廣泛地應(yīng)用于數(shù)字信號(hào)處理的各個(gè)領(lǐng)域。

   關(guān)鍵詞：快速傅里葉變換 CORDIC算法 現(xiàn)場(chǎng)可編程門(mén)陣列（FPGA）

　　快速傅里葉變換（Fast Fourier Transformation,FFT實(shí)時(shí)譜分析是DSP應(yīng)用的核心技術(shù)之一，而在高速實(shí)時(shí)信號(hào)處理中，常采用專門(mén)集成電路（ASIC）來(lái)實(shí)現(xiàn)。FPGA是一種具有大量的可編程邏輯單元的器件，它的應(yīng)用使得電子產(chǎn)品不僅具有高速度、高集成度和高可靠性，而且具有用戶可編程特性，能降低設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。實(shí)驗(yàn)表明，用FPGA實(shí)現(xiàn)的實(shí)時(shí)譜分析系統(tǒng)既有專用ASIC電路實(shí)現(xiàn)的快速性，又有DSP器件實(shí)現(xiàn)的靈活性，非常適用于高速實(shí)時(shí)的數(shù)字信號(hào)處理。
　　

　　1 FFT實(shí)時(shí)信號(hào)處理系統(tǒng)的總體設(shè)計(jì)

　　FFT頻譜分析系統(tǒng)主要由1024點(diǎn)基-4 FFT模塊和接口控制電路組成。其中，基-4 FFT模塊用于實(shí)現(xiàn)一組1024點(diǎn)復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)的FFT變換；接口控制電路負(fù)責(zé)控制1024點(diǎn)基-4 FFT模塊，并對(duì)A/D采樣輸出的數(shù)據(jù)進(jìn)行緩存、速率匹配等，協(xié)調(diào)個(gè)FFT頻譜分析系統(tǒng)的工作時(shí)序。
在本設(shè)計(jì)中，F(xiàn)FT實(shí)時(shí)譜分析系統(tǒng)的1024點(diǎn)基-4 FFT算法采用FPGA實(shí)現(xiàn)。FPGA的總體框圖如圖1所示。其中，衰減限幅模塊負(fù)責(zé)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行衰減及限幅壓縮處理；雙口RAM負(fù)責(zé)存儲(chǔ)外部輸入的原始數(shù)據(jù)及經(jīng)過(guò)蝶形運(yùn)算后的中間數(shù)據(jù)；四點(diǎn)FFT模塊完成4點(diǎn)DFT運(yùn)算；地址控制模塊負(fù)責(zé)產(chǎn)生讀地址、寫(xiě)地址、寫(xiě)使能信號(hào)以及相關(guān)模塊的啟動(dòng)、控制信號(hào)，是FFT系統(tǒng)的控制核心；復(fù)乘運(yùn)算模塊是系統(tǒng)運(yùn)算的核心部分，采用CORDIC算法實(shí)現(xiàn)；旋轉(zhuǎn)因子產(chǎn)生器產(chǎn)生復(fù)乘運(yùn)算中的旋轉(zhuǎn)因子的角度數(shù)據(jù)；倒序模塊實(shí)現(xiàn)頻譜正常順序輸出。

　　
　　2 功能模塊的設(shè)計(jì)

　　2.1 衰減限幅模塊

　　FFT實(shí)時(shí)譜分析系統(tǒng)采用的算術(shù)運(yùn)算方案是定點(diǎn)運(yùn)算，衰減限幅模塊實(shí)現(xiàn)了定比例衰減、尾數(shù)處理和壓縮信號(hào)電平的作用，用以防止數(shù)據(jù)溢出。模塊框圖如圖2所示，其壓縮特性如圖3所示。

　　2.2 四點(diǎn)FFT模塊

　　四點(diǎn)FFT模塊完成四點(diǎn)DFT變換，變換公式如下：



　　四點(diǎn)FFT模塊中完全不需要復(fù)數(shù)乘法，乖-j只需將實(shí)部虛部交換，再加上必要的正負(fù)號(hào)即可。四點(diǎn)FFT模塊采用流水線工作方式，每四個(gè)時(shí)鐘周期完成一組四點(diǎn)FFT運(yùn)算。在輸入一組四點(diǎn)原始數(shù)據(jù)x(i)時(shí)，要完成兩面項(xiàng)工作：①進(jìn)行上一組四點(diǎn)FFT的第二級(jí)運(yùn)算，即計(jì)算并輸出上一組四點(diǎn)FFT的結(jié)果X(k)；②進(jìn)行本組四點(diǎn)FFT的第一級(jí)運(yùn)算，即計(jì)算本組四點(diǎn)FFT的中間結(jié)果X'(k)。這樣充分利用了硬件資源。

　　2.3 復(fù)乘運(yùn)算模塊
　　
　　復(fù)乘運(yùn)算是FFT處理器中兩種最頻繁的運(yùn)算之一，因而復(fù)乘運(yùn)算模塊也是FFT處理器中的一個(gè)重要模塊。輸入復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)xr+jxi與旋轉(zhuǎn)因子cosα+jsinα相乘的公式為：

　　yr=xrcosα-xisinα     (2)

　　yi=xicosα+srαsinα

　　利用CORDIC的圓周旋轉(zhuǎn)的向量工作模式可以實(shí)現(xiàn)復(fù)乘運(yùn)算，所采用的迭代議程組如下：

　　n次迭代后可得到如下結(jié)果：

　　
　　所以，只需將需要運(yùn)算的角度值為zo輸入，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)迭代后，迭代結(jié)果的xn和yn就是所需要的旋轉(zhuǎn)因子ezo與(xo+j·yo)復(fù)乘的運(yùn)算值。即：

　　
　　復(fù)乘運(yùn)算模塊的工作流程如圖4所示。

　　從復(fù)乘運(yùn)算的算法流程中可以看到，實(shí)現(xiàn)復(fù)乘運(yùn)算的主要元件有加法器、移位器和多選一數(shù)據(jù)選擇器等。組成流水線后，各流水單元結(jié)構(gòu)相似，很適合用FPGA實(shí)現(xiàn)。

　　
    2.4 旋轉(zhuǎn)因子產(chǎn)生模塊

　　在一個(gè)基-4蝶形運(yùn)算單元中，包含WP、W2P和W3P三個(gè)旋轉(zhuǎn)因子，每組基-4蝶形運(yùn)算的第一個(gè)輸出數(shù)據(jù)所乘的旋轉(zhuǎn)因子總為1。在同一個(gè)蝶形組內(nèi)，P值是不變的，因而只需確定一個(gè)P值，三個(gè)旋轉(zhuǎn)因子便可確定下來(lái)。每當(dāng)一個(gè)基-4蝶形組計(jì)算完畢而轉(zhuǎn)入下一個(gè)蝶形組時(shí)，P值改變一次，其變化的順序恰好正是（L-1）位四進(jìn)制數(shù)順序加1的倒序輸出。由此可以根據(jù)蝶形運(yùn)算的級(jí)數(shù)和四點(diǎn)FFT的節(jié)點(diǎn)位置計(jì)算出對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)因子的角度。

　　由于WP=在程序中將小數(shù)cos 2