有限元法可以處理無(wú)法得到解析TPS852解的偏微分及積分問(wèn)題。對(duì)于有限元法,將所求物理空間或物體進(jìn)行有限個(gè)單元?jiǎng)澐?每個(gè)單元內(nèi)的場(chǎng)用簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)近似。對(duì)于所求物理場(chǎng)的偏微分及積分問(wèn)題,例如磁感應(yīng)強(qiáng)度B,一般通過(guò)使用旋度或梯度表示的勢(shì)函數(shù)處理。

      在此以一維問(wèn)題進(jìn)一步闡述�？紤]關(guān)于勢(shì)函數(shù)∮的一維泊松方程,此勢(shì)函數(shù)∮可以是靜電場(chǎng)中的靜電勢(shì),而ρ可以是電荷線密度。為了完全定義￠,還需要給定邊界條件,例如導(dǎo)數(shù)邊界條件,用有限元法求解方程(1.3.1)需要將整個(gè)空間(線空間)劃分為多個(gè)單元(線單元)。在每一個(gè)單元內(nèi)部勢(shì)函數(shù)用線性函數(shù)近似為整個(gè)空間內(nèi)勢(shì)函數(shù)是連續(xù)的,因此對(duì)于有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的線單元而言,每個(gè)節(jié)點(diǎn)被兩個(gè)相鄰單元共用。勢(shì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)未必是連續(xù)的,例如對(duì)電勢(shì)來(lái)說(shuō),不同單元的介電常數(shù)ε不同導(dǎo)致勢(shì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。公式的另一種簡(jiǎn)化形式為如下節(jié)點(diǎn)形函數(shù),其中,￠l和燦為節(jié)點(diǎn)上的勢(shì)函數(shù)值。通過(guò)將整個(gè)空間進(jìn)行離散化并用節(jié)點(diǎn)勢(shì)函數(shù)值描述.

      解的近似空間分布,再利用其他方法便可求解方程。使用比較多的方法有:變分法、最小乘方法和加杈余量法。其中加權(quán)余量法使用得最為廣泛,它通過(guò)下式求解近似解: 其中W為權(quán)函數(shù)。對(duì)于電磁場(chǎng)方程,迦遼金法更為適用。迦遼金法將每個(gè)單元內(nèi)的勢(shì)函數(shù)

用作權(quán)函數(shù)。方程(1.3.5)也被稱為強(qiáng)形式,因?yàn)樗鼘?duì)勢(shì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有必須連續(xù)的限制,而方程(1.3,6)被稱為弱形式,它將導(dǎo)數(shù)的這一限制去除其中曰和8為方程的作用域。利用節(jié)點(diǎn)形函數(shù)使每一個(gè)從而建立關(guān)于全部節(jié)點(diǎn)的線性方程組用矩陣形式寫為其中,Κ為系數(shù)矩陣(在力學(xué)有限元分析中也被稱作剛性矩陣)為待求各節(jié)點(diǎn)的勢(shì)函數(shù).