NANOSMDM012-02人們在日常生活中經(jīng)常遇到計數(shù)問題,并且習(xí)慣于用十進制數(shù)。而在數(shù)字系統(tǒng),例如計算機中,通常采用二進制數(shù),有時也采用十六進制數(shù)或八進制數(shù)。這種多位數(shù)碼的構(gòu)成方式以及從低位到高位的進位規(guī)則稱為數(shù)制。

眾所周知,中國的珠算盤是一個十進制計數(shù)器。任何一個數(shù)都可以用O、1、2、3、4、5、6、7、8、9等十個數(shù)碼中的一個或幾個,按一定的規(guī)律排列起來表示,其計數(shù)規(guī)律是“逢十進一”,即9+1=10,其中左邊的“1”為十位數(shù),右邊的“0”為個位數(shù),也就是10=1×10|+0×1o0。所謂十進制就是以10為基數(shù)的計數(shù)體制。

這樣,每一數(shù)碼處于不同的位置時,它所代表的數(shù)值是不同的。例如,十進制數(shù)4587.29可以表示為4587.29=4×103+5×102+8×101-卜7×100+2×10ˉ1 +9×10ˉ2式中103、102、101和100分別為千位、百位、十位和個位數(shù)碼的權(quán),而小數(shù)點以右數(shù)碼的權(quán)值是10的負冪。這與珠算盤橫梁上所標(biāo)示的個、十、百、千的位權(quán)是相同的。

一般地說,任意十進制數(shù)可表示為

(Ⅳ)D①=∑凡×10立        (1・2.1)

式中Ki為基數(shù)“10”的第j次冪的系數(shù),它可以是0~9中任何一個數(shù)字。

如果將式(1.2.1)中的10用字母R來代替,就可以得到任意進制數(shù)的表達式

(Ⅳ)R=∑凡×R氵       (⒈2・2)

式中Kj是第j次冪的系數(shù),根據(jù)基數(shù)R的不同,它的取值為0~R-1個不同的數(shù)碼。例如對于十進制數(shù),R為10,所以Ki的取值為0~9共10個數(shù)碼。

用數(shù)字電路來存儲或處理十進制數(shù)是不方便的。因為構(gòu)成數(shù)字電路的基本思路是把電路的狀態(tài)與數(shù)碼對應(yīng)起來。而十進制的十個數(shù)碼要求電路有十個完

全不同的狀態(tài),這樣使得電路很復(fù)雜,因此在數(shù)字電路中不直接處理十進制數(shù)。

二進制的表示方法,二進制數(shù)中,只有0和1兩個數(shù)碼,并且計數(shù)規(guī)律是“逢二進一”,即1+1=10(讀為“壹零”)。必須注意,這里的“10”與十進制數(shù)的“10”是完

全不同的,它并不代表數(shù)“拾”。左邊的“1”表示21位數(shù),右邊的“0”表示2°位數(shù),也就是10=1×21+0×20。因此,所謂二進制就是以2為基數(shù)的計數(shù)體制。

根據(jù)式(⒈2.2),任意二進制數(shù)可表示為

(Ⅳ):②=∑KJ×2.       (⒈2.3)

式中Kj為基數(shù)“2”的第j次冪的系數(shù),它可以是0或者1。這樣式(1.2.3)也可以作為二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換公式。

例1,2.1 試將二進制數(shù)(1010110):轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)。

解:將每1位二進制數(shù)與其位權(quán)相乘,然后相加便得相應(yīng)的十進制數(shù)。

(1010110):=1×26+0×25+1×24+O x23+1×

22+1 ×21 +0 ×20=(86)D

二進制的優(yōu)點

與十進制相比較,二進制具有一定的優(yōu)點,因此它在計算機技術(shù)中被廣泛采用。

二進制的數(shù)字裝置簡單可靠,所用元件少。

二進制只有兩個數(shù)碼0和1,因此它的每1位數(shù)都可用任何具有兩個不同穩(wěn)定狀態(tài)的元件來表示,例如BJT的飽和與截止,繼電器接點的閉合和斷開,燈泡的亮和不亮等。只要規(guī)定其中一種狀態(tài)表示1,另一種狀態(tài)表示0,就可以表示二進制數(shù)。這樣,數(shù)碼的存儲、分析和傳輸,就可以用簡單而可靠的方式進行。

二進制的基本運算規(guī)則簡單,運算操作方便。

但是,采用二進制也有一些缺點。用二進制表示一個數(shù)時,位數(shù)多,例如,十進制數(shù)49表示為二進制數(shù)時,即為110001,使用起來不方便也不習(xí)慣。因此,在運算時原始數(shù)據(jù)多用人們習(xí)慣的十進制數(shù),在送入機器時,就必須將十進制原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字系統(tǒng)能接受的二進制數(shù)。而在運算結(jié)束后,再將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù),表示最終結(jié)果。

二進制數(shù)的波形表示

在數(shù)字電子技術(shù)和計算機應(yīng)用中,二值數(shù)據(jù)常用數(shù)字波形來表示。這樣,數(shù)據(jù)比較直觀,也便于使用電子示波器進行監(jiān)視。圖1.2.1所示為一計數(shù)器的波形,圖中最左列標(biāo)出了二進制數(shù)的位權(quán)(2°、2】、22、23)以及最低位(LSB)①和最高位(MSB)②,最后一行標(biāo)出了從0到15的等效十進制數(shù)。