１ 引言
越來(lái)越多的應(yīng)用要求采樣模擬信號(hào)，將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，對(duì)數(shù)字信號(hào)做各種計(jì)算和處理，然后再將它們轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)。本文討論了如何采樣模擬信號(hào)并對(duì)其整形以保持原始信號(hào)的方法。

２　基帶信號(hào)的采樣和混疊分析
先從有限帶寬信號(hào)著手討論，有限帶寬信號(hào)是指某個(gè)頻率點(diǎn)（截止頻點(diǎn)）之外的所有頻率的頻譜成分的幅度都為０的信號(hào)。如圖１中的ｇ(ｔ)，大于截止頻點(diǎn)α的頻率范圍內(nèi)的頻譜分量全部為０。在這種情況下，α也就是這個(gè)基帶信號(hào)的帶寬。對(duì)ｇ(ｔ)的采樣在數(shù)學(xué)上可以用以下方式表達(dá)：將ｇ(ｔ)乘以周期為Ｔ的沖激函數(shù)。ｇ(ｔ)在沖激點(diǎn)的信號(hào)值被采樣，而其它點(diǎn)的值都為０。從模擬信號(hào)角度來(lái)看，就是按頻率ｆＳＡＭＰＬＩＮＧ＝１／Ｔ對(duì)ｇ(ｔ)取樣。采樣后的信號(hào)ｓ(ｔ)可用以下公式表示：

為了得到采樣后信號(hào)ｓ(ｔ)的頻譜，可對(duì)ｓ(ｔ)做傅立葉變換：

沖激串函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示，如下式：

此處的傅立葉系數(shù)為：

上式中積分的上下限只由一個(gè)周期來(lái)決定。在保證等效的前提下，可以進(jìn)行以下變換：用從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的傅立葉積分代替上式中的積分，周期性的沖激函數(shù)用基頻沖激函數(shù)代替，則上式可改寫(xiě)為：

沖激串函數(shù)可用以下更方便做傅立葉變換的簡(jiǎn)化形式表示：

考慮到一個(gè)信號(hào)可由它的傅立葉變換積分得到，如下式：

可得到如下最終結(jié)果

根據(jù)以上結(jié)果，再重新考慮被采樣的基頻信號(hào)，它的傅立葉變換為：

兩個(gè)信號(hào)Ａ(ｆ)和Ｂ(ｆ)的卷積定義為：

則Ｓ(ｆ)可改寫(xiě)為:

上式就是我們常說(shuō)的采樣定律。它表明在時(shí)域里按周期Ｔ采樣得到的信號(hào)會(huì)以１／Ｔ 的頻率重復(fù)原始信號(hào)的頻譜，如圖２所示。

為保留所有原始信號(hào)的信息，必須保證每一個(gè)重復(fù)頻譜之間不發(fā)生混疊。否則，就不可能從采樣信號(hào)中恢復(fù)出原始信號(hào)�；殳B意味著高頻段掩蓋了低頻段信號(hào)，如圖３所示。為避免混疊，必須滿(mǎn)足以下條件：１／Ｔ≥２α或１／Ｔ≥２ＢＷ。也可用采樣頻率表示為：
ｆＳＡＭＰＬＩＮＧ≥２ＢＷ
以上表明不會(huì)產(chǎn)生混疊的最小采樣頻率是２ＢＷ。這就是奈奎斯特采樣定律。
圖３給出了被混疊的采樣信號(hào)。高頻信號(hào)分量ｆＨ疊加在低頻部分。設(shè)計(jì)時(shí)，通常用一個(gè)低通濾波器來(lái)恢復(fù)原始頻譜并將其它頻譜分量濾掉。當(dāng)使用截止頻率為α的低通濾波器恢復(fù)圖３信號(hào)時(shí)，它無(wú)法將混疊的高頻信號(hào)濾掉，從而造成信號(hào)的劣化。

３　帶通信號(hào)的采樣和混疊分析
再來(lái)看另一種有限帶寬信號(hào)，帶通信號(hào)。帶通信號(hào)的低頻截止點(diǎn)不在０ＨＺ。圖４中的帶通信號(hào)的頻譜能量范圍在αＬ和αＵ之間，它的帶寬定義為αＵ－αＬ。帶通信號(hào)和基帶信號(hào)的主要差異就是帶寬的定義�；鶐盘�(hào)的帶寬等于它的高頻截止頻率，而帶通信號(hào)的帶寬等于高頻截止頻率和低頻截止頻率之差。由前面的討論可知，采樣信號(hào)以１／Ｔ 的周期重復(fù)原始信號(hào)的頻譜。因?yàn)檫@個(gè)頻譜實(shí)際上包括從０Ｈｚ到原始帶通信號(hào)低頻截止頻率之間的０幅值頻帶，所以實(shí)際的原始帶通信號(hào)帶寬要比αＵ小。這樣就可以在頻域做一定的頻率偏移，而采樣頻率也可以降低。為滿(mǎn)足奈奎斯特定律，一個(gè)實(shí)際帶寬為αＵ／２的原始帶通信號(hào)，其采樣頻率設(shè)為αＵ即可，采樣信號(hào)的頻譜如圖５所示。這樣的采樣沒(méi)有產(chǎn)生混疊，因此如果有理想的帶通濾波器，可完全恢復(fù)出原始信號(hào)。在本例中，基帶和帶通信號(hào)的差別非常重要。對(duì)于基帶信號(hào)，帶寬和相應(yīng)的采樣頻率只由高頻截止點(diǎn)決定。而帶通信號(hào)的帶寬通常都要比高頻截止頻率小。

４ 采樣方式及結(jié)果分析
以上特性決定了從采樣信號(hào)恢復(fù)原始信號(hào)的不同方法。對(duì)于高頻截止點(diǎn)相同的基帶信號(hào)和帶通信號(hào)，只要采用合適的帶通濾波器，帶通信號(hào)的采樣頻率就可以降低（圖５中的白色矩形部分）。而低通濾波器在這種情況下無(wú)法恢復(fù)出原始信號(hào)，由圖５可明顯看出，陰影部分仍然包含在恢復(fù)信號(hào)頻譜中。所以如果要用低通濾波器恢復(fù)圖５中的帶通信號(hào)，采樣頻率