離散時(shí)間的信號(hào)和系統(tǒng)在時(shí)域上可以用差分方程或離散時(shí)間變換來建模。變換特別是標(biāo)準(zhǔn)z變換，對(duì)設(shè)計(jì)和分析數(shù)字濾波器是極為重要的。連續(xù)時(shí)間濾波器到離散時(shí)間模型的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以用拉普拉斯變換和延時(shí)定理來推導(dǎo)，其中延時(shí)定理表明，如果x（t）→＋x（s），那么x（t＋τ）→e-stx(s)。將其中的復(fù)指數(shù)用z＝esτ來代替，則可簡(jiǎn)化符號(hào)表示，這樣得到的就是所謂的z變換。因果時(shí)間序列的z變換可以規(guī)范地表示為

　　z反變換將z變換x（z）映射為離散時(shí)間序列x[k]。z變換求逆的標(biāo)準(zhǔn)方法叫做部分分?jǐn)?shù)或heaviside展開。

　　另一個(gè)重要的z變換的工具是雙線性z變換。雙線性z變換通過下面的關(guān)系式與熟悉的拉普拉斯變換相聯(lián)系：

　　應(yīng)該認(rèn)識(shí)到標(biāo)準(zhǔn)和雙線性z變換的頻率響應(yīng)是不同的。標(biāo)準(zhǔn)z變換z＝釅是一個(gè)全通濾波器的頻率響應(yīng)，它以∫＝點(diǎn)為中心重復(fù)其自身。而雙線性彩變換頻率響應(yīng)為

　　式中，ω是以rad／s為單位的模擬頻率；而ω是相應(yīng)的數(shù)字域頻率，其單位也是rad／s。由式（12．17）建立的頻率關(guān)系可以簡(jiǎn)化為

　　式中，幾是模擬頻率；fd是對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率。模擬和數(shù)字頻率之間的非線性關(guān)系稱為畸變（warplng），畸變曲線如圖所示。

　　圖 雙線性z變換中連續(xù)頻率軸（記為ω）與離散頻率軸（記為ω）間的關(guān)系

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