rs碼是一種非分組的有記憶編碼，因編碼規(guī)則遵從卷積運(yùn)算而得名，可記為（n,k,m）碼，其中k表示輸入信息 的路數(shù)，n表示碼元輸出的路數(shù)，碼表示編碼器中寄存器的節(jié)數(shù)。輸出碼元n不僅與輸入信息位k有關(guān)，而且與編 碼器中記憶的m位有關(guān)，通常稱l=m+1為約束長度（記憶長度）。其譯碼既可采用傳統(tǒng)的代數(shù)方法，也可采用概率 方法，而常用的是概率方法。rs碼一般使用（n,k）表示，輸入信號(hào)分成k×mbit一組，每組包括k個(gè)符號(hào)，每個(gè) 符號(hào)由m bit組成。一個(gè)可以糾錯(cuò)t個(gè)符號(hào)的rs碼具有如下參數(shù)。

　　rs碼都是在伽羅華域（galois field，gf）中運(yùn)算的，因此了解伽羅華域的數(shù)據(jù)運(yùn)算是rs編碼的前提。無線通 信中的數(shù)據(jù)、地址、校驗(yàn)碼等都可以看成是屬于gf（2）＝gf（28）中的元素或稱符號(hào)。gf(28)表示域中有256 個(gè)元素，除0、1之外的254個(gè)元素由本原多項(xiàng)式p(x)生成。本原多項(xiàng)式p(x）的特性是p(x)得到的佘式等于0。無線通信中用來構(gòu)造gf(28）域的p(x)是p(x)＝ x⁸+x⁴+x³+x²+1，而gf(28）域中的本原元素為α＝（00000010）。

　　下面以一個(gè)較簡單例子說明域的構(gòu)造。構(gòu)造gf(2³)域的本原多項(xiàng)式假定為p(x)＝x³+x+1。α定義為p（x）＝0的根， 即α³＋α＋1＝0和α³＝α＋1。gf(23)中的元素計(jì)算如表1所示。

　　表1 gf(2³)中的元素計(jì)算

　　用二進(jìn)制數(shù)表示域元素得到如表2所示的對(duì)照表。

　　表2 二進(jìn)制數(shù)表示域元素

這樣一來就建立了gf(2³)域中的元素與3位二進(jìn)制數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。用同樣的方法可建立gf(2⁸)域中的256個(gè)元素與8位二進(jìn)制數(shù)之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。在糾錯(cuò)編碼運(yùn)算過程中，加、減、乘和除的運(yùn)算是伽羅華域中進(jìn)行的。現(xiàn)在以gf(2³)域中的運(yùn)算為例。

　　這些運(yùn)算的結(jié)果仍然在gf(2³)域中。

　　gf域的加法和減法采樣異或可以方便地實(shí)現(xiàn)，但gf域的乘法和除法計(jì)算則十分復(fù)雜。在rs碼中g(shù)f域的除法使用較少，而 乘法使用較多，以下詳細(xì)介紹gf域的乘法運(yùn)算。

　　在c6x序列dsp中，c64x中有專門的gf域的乘法指令。這樣，可以快速實(shí)現(xiàn)gf域的乘法。該指令為gmpy4，可以一次實(shí)現(xiàn)4 個(gè)8位gf域的乘法。如果條件滿足，該指令執(zhí)行如下運(yùn)算，其中src1和src2為操作數(shù)，ubyte表示無符號(hào)的字節(jié)數(shù)，dst為 目的單元。

　　使用該指令的例子如圖1所示。

圖1 gmpy4的運(yùn)行結(jié)果

　　gmpy4指令默認(rèn)使用gf（256）域乘法，其生成多項(xiàng)式為g(x)＝1+x²+x³+x⁴+x⁸。可以通過gfpgfr寄存器設(shè)置用戶的生成 多項(xiàng)式。gfpgfr寄存器各位的定義如圖2所示。

圖2 gfpgfr寄存器各位的定義

　　各位的意義分別如下。

　　● 第0～第7位。poly位，可讀寫位，復(fù)位值為ldh；存儲(chǔ)生成多項(xiàng)式的系數(shù)。

　　● 第8～第23位。預(yù)留，只讀位，復(fù)位值0。

　　● 第24～第26位。size位，可讀寫位，復(fù)位值07；該位值加1為gf域的位數(shù)。

　　● 第27～第31位。預(yù)留，只讀位，復(fù)位值0。

　　默認(rèn)的多項(xiàng)式為g(x)＝1+x²+x³+x⁴+x⁸，則poly中存儲(chǔ)的數(shù)值為（1+4+8+16）=29，十六進(jìn)制則為0xld。注意，其中 盧為默認(rèn)帶有1，所以poly的值雖然為0xld，但實(shí)際上表示生成多項(xiàng)式系數(shù)為0x11d。

　　使用默認(rèn)多項(xiàng)式做gf（256）的乘法的c程序如下，程序中使用_gmpy4函數(shù)的dsp的c編譯器帶有的內(nèi)聯(lián)函數(shù)。

　　以上為直接使用默認(rèn)的生成多項(xiàng)式，如果用戶的生成多項(xiàng)式為g(x)＝1+x³+x⁵+x⁶+x⁸，則poly中存儲(chǔ)的數(shù)值為（1+8+32+64）＝105，十六進(jìn)制則為0x69。注意，其中x8為默認(rèn)帶有1，所以poly的值為0x69，設(shè)置新的poly值并進(jìn)行g(shù)f(256) 的乘法程序如下：

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