在以上所有定律中,反演律具有特殊重要的意義。反演律又稱為摩根定理,它經(jīng)常用于求一個(gè)原函數(shù)的非函數(shù)或者對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行變換。為了證明A+B=AB,AB=A+B,按A、B所有可能的取值情況列出真值表。將表中第3列和第4列進(jìn)行比較、第5列和第6列進(jìn)行比較,可見(jiàn)等式兩邊的真值表相同,故等式成立。

表2.1.2 摩根定理的證明

AB+⒕

=AB(1+C)+AC(1+B)

=aB+AC          

這個(gè)恒等式說(shuō)明,若兩個(gè)乘積項(xiàng)中分別包含因子A和A,而這兩個(gè)乘積項(xiàng)的其余因子組成第三個(gè)乘積項(xiàng)時(shí),則第二個(gè)乘積項(xiàng)是多余的,可以消去。

本節(jié)所列出的基本公式反映了邏輯關(guān)系,而不是數(shù)量之間的關(guān)系,在運(yùn)算中不能簡(jiǎn)單套用初等代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則。例如初等代數(shù)中的移項(xiàng)規(guī)則就不能用,這是因?yàn)檫壿嫶鷶?shù)中沒(méi)有減法和除法的緣故。這一點(diǎn)在使用時(shí)必須注意。

代入規(guī)則,在任何一個(gè)邏輯等式中,如果將等式兩邊出現(xiàn)的某變量A,都用一個(gè)函數(shù)代替,則等式依然成立,這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。

例如,在B(A+C)=B4+BC中,將所有出現(xiàn)A的地方都用函數(shù)E+F代替”則等式仍成立,即得

B[(E+F)+C]=B(E+F)+BC=BE+BF+BC

代人規(guī)則可以擴(kuò)展所有基本定律或定理的應(yīng)用范圍。例如前面用真值表證明了用二變量表示的摩根定理AB=A+B,若用L=CD代替等式中的A邏輯代數(shù)是1854年問(wèn)世的,早年用于開(kāi)關(guān)和繼電器網(wǎng)絡(luò)的分析、化簡(jiǎn).

隨著半導(dǎo)體器件制造工藝的發(fā)展,各種具有良好開(kāi)關(guān)性能的微電子器件不斷涌現(xiàn),因而邏輯代數(shù)已成為分析和設(shè)計(jì)現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不可缺少的數(shù)學(xué)工具。

邏輯代數(shù)有一系列的定律、定理和規(guī)則,用它們對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行處理,可以完成對(duì)邏輯電路的化簡(jiǎn)、變換、分析和設(shè)計(jì)。