2.1.4  三次樣條函數(shù)插值法

圖2.8三次樣條函數(shù)原理

    如果各樣點(diǎn)之間為三次曲線，則畫(huà)出的曲線由各段三次曲線拼接而成，且每個(gè)采樣點(diǎn)處的兩段三次曲線的一階、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，這在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為三次樣條函數(shù)，其原理如圖2.8所示。利用微處理器處理三次樣條函數(shù)比較復(fù)雜，甚至難以實(shí)現(xiàn)。這時(shí)可以使用諸如MATLAB等強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具計(jì)算出樣條函數(shù)的各次系數(shù)，利用這些系數(shù)就可以編寫(xiě)出高效的用戶插值程序。設(shè)有0,1,2,…,n個(gè)采樣點(diǎn)，則n個(gè)三次多項(xiàng)式的通用形式為           H101C                        （2.8）
    Si(x)=aix2,+bx2+cix+bi=1,2,3...,n                                         

    三次樣條函數(shù)Si(x)在區(qū)間[xi-xi,xi,]上的三次式常用兩種方法表示，一種是設(shè)Si(x)=yi，S"(x)=M'hi-xi-xi-1得到m的表達(dá)式；另一種是設(shè)S(xi)yi,S"(XI)=Mi,hi=xi-xi-1,得到M的表達(dá)式。對(duì)于M的表達(dá)式,因S(x)在[Xi-1，Xi]上是三次式,s"(x)是一次式，s"(xi-1)=Mi-1，S“(xi)=Mi，按線性插值公式可得到
                  xi-x      x-xi-1
             S"(x)_____Mi-1+____Mi
                   hi         hi                                                           (2.9)
                   
    對(duì)式(2.9)積分兩次可得三次樣條函數(shù)的M表達(dá)式：
                                          hi2Mi-1  Xi-x      hi2Mi-1 x-xi-1
          1                              -_______  _____+[yi-_______]______
    s(x)=__[(xi-x)3Mi-1+(x-xi-1)3M]+[yi-1    6    ]  hi          6     hi
         6hi                xE[Xi-1,xi],i=1.2...,n                            (2.10)

    可見(jiàn)，要確定三次樣條函數(shù)S(x)，只需確定Mi。為此，需用到S(x)的光滑性。既然三次樣條函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，當(dāng)然一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)，故在中間節(jié)點(diǎn)xi(i=1,2...,n-1)處應(yīng)有S'(XI)=S'+(Xi),這樣可以得到Mi滿足的n-1個(gè)方程：

                                                                                          (2.11)

    對(duì)于兩個(gè)邊界點(diǎn)有S"(xo)=Mo，s"(x)=M"。這樣就得到要求解n+1個(gè)M值的n+1個(gè)方程。由此可y(x)構(gòu)造某點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)可分為以下三步。

    ①根據(jù)S"(X)的連續(xù)性及其為線性函數(shù)的特點(diǎn),將s"(x)表示為線性函數(shù)，再根據(jù)S(x)的連續(xù)性及插值條件，寫(xiě)出S"(x)用夠Mi(i=1,2...,n）表示的形式。H1053  

    ②根據(jù)S'(x)在節(jié)點(diǎn)Xi(i=1,2,...,n-1)處的連續(xù)性及邊界條件，導(dǎo)出含Mi(i=1,2,...,n)的n+l階線性方程組。

    ③之解Mi(i=1,2,...,n)的線性方程組，將得到的Mi代入[Xi一l,xi]的表達(dá)式，即得到似節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條函數(shù)。

    采用MATLAB求解三次樣條函數(shù)對(duì)應(yīng)的Mi(i=1,2...,n)的程序流程圖如圖2.9所示。

圖2.9樣條函數(shù)插值程序流程圖

    線性插值法比較簡(jiǎn)單，但精度不高；三次樣條函數(shù)插值法比較精確，但計(jì)算量大；二次拋物線插值法精度較高，計(jì)算量適中。在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)被測(cè)量（如溫度）與測(cè)量值（經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換得到的電壓值）之間關(guān)系曲線的特征選取合適的插值方法。為避免采用高次插值法，可在測(cè)量曲線曲率變化比較大的地方增加測(cè)試點(diǎn)，這樣就可以采用線性插值法。例如，在比色測(cè)溫系統(tǒng)中，采樣點(diǎn)測(cè)試誤差很小，且硅光電池特性曲線的中間大部分近似線性，故采用線性插值法。但對(duì)于某些情況，要給出更多的測(cè)量點(diǎn)有困難時(shí)，就必須根據(jù)實(shí)際情況在不同的區(qū)段選取不同的插值方法。H11A817A3SD   

     三種插值方法均屬計(jì)算法，所取段數(shù)越多，計(jì)算精度越高。但是，這不僅增加計(jì)算量，而且也會(huì)產(chǎn)生計(jì)算誤差。此外，在某些檢測(cè)系統(tǒng)中，有些參數(shù)的計(jì)算非常復(fù)雜，需要用較長(zhǎng)的計(jì)算程序，占用較多的微處理器內(nèi)存單元，此時(shí)可利用查表法進(jìn)行處理。