2.1.4  三次樣條函數(shù)插值法

圖2.8三次樣條函數(shù)原理

    如果各樣點之間為三次曲線，則畫出的曲線由各段三次曲線拼接而成，且每個采樣點處的兩段三次曲線的一階、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，這在數(shù)學(xué)上稱為三次樣條函數(shù)，其原理如圖2.8所示。利用微處理器處理三次樣條函數(shù)比較復(fù)雜，甚至難以實現(xiàn)。這時可以使用諸如MATLAB等強有力的數(shù)學(xué)工具計算出樣條函數(shù)的各次系數(shù)，利用這些系數(shù)就可以編寫出高效的用戶插值程序。設(shè)有0,1,2,…,n個采樣點，則n個三次多項式的通用形式為           H101C                        （2.8）
    Si(x)=aix2,+bx2+cix+bi=1,2,3...,n                                         

    三次樣條函數(shù)Si(x)在區(qū)間[xi-xi,xi,]上的三次式常用兩種方法表示，一種是設(shè)Si(x)=yi，S"(x)=M'hi-xi-xi-1得到m的表達式；另一種是設(shè)S(xi)yi,S"(XI)=Mi,hi=xi-xi-1,得到M的表達式。對于M的表達式,因S(x)在[Xi-1，Xi]上是三次式,s"(x)是一次式，s"(xi-1)=Mi-1，S“(xi)=Mi，按線性插值公式可得到
                  xi-x      x-xi-1
             S"(x)_____Mi-1+____Mi
                   hi         hi                                                           (2.9)
                   
    對式(2.9)積分兩次可得三次樣條函數(shù)的M表達式：
                                          hi2Mi-1  Xi-x      hi2Mi-1 x-xi-1
          1                              -_______  _____+[yi-_______]______
    s(x)=__[(xi-x)3Mi-1+(x-xi-1)3M]+[yi-1    6    ]  hi          6     hi
         6hi                xE[Xi-1,xi],i=1.2...,n                            (2.10)

    可見，要確定三次樣條函數(shù)S(x)，只需確定Mi。為此，需用到S(x)的光滑性。既然三次樣條函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，當然一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)，故在中間節(jié)點xi(i=1,2...,n-1)處應(yīng)有S'(XI)=S'+(Xi),這樣可以得到Mi滿足的n-1個方程：

                                                                                          (2.11)

    對于兩個邊界點有S"(xo)=Mo，s"(x)=M"。這樣就得到要求解n+1個M值的n+1個方程。由此可y(x)構(gòu)造某點處的二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)可分為以下三步。

    ①根據(jù)S"(X)的連續(xù)性及其為線性函數(shù)的特點,將s"(x)表示為線性函數(shù)，再根據(jù)S(x)的連續(xù)性及插值條件，寫出S"(x)用夠Mi(i=1,2...,n）表示的形式。H1053  

    ②根據(jù)S'(x)在節(jié)點Xi(i=1,2,...,n-1)處的連續(xù)性及邊界條件，導(dǎo)出含Mi(i=1,2,...,n)的n+l階線性方程組。

    ③之解Mi(i=1,2,...,n)的線性方程組，將得到的Mi代入[Xi一l,xi]的表達式，即得到似節(jié)點處二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條函數(shù)。

    采用MATLAB求解三次樣條函數(shù)對應(yīng)的Mi(i=1,2...,n)的程序流程圖如圖2.9所示。

圖2.9樣條函數(shù)插值程序流程圖

    線性插值法比較簡單，但精度不高；三次樣條函數(shù)插值法比較精確，但計算量大；二次拋物線插值法精度較高，計算量適中。在實際應(yīng)用中，可根據(jù)被測量（如溫度）與測量值（經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換得到的電壓值）之間關(guān)系曲線的特征選取合適的插值方法。為避免采用高次插值法，可在測量曲線曲率變化比較大的地方增加測試點，這樣就可以采用線性插值法。例如，在比色測溫系統(tǒng)中，采樣點測試誤差很小，且硅光電池特性曲線的中間大部分近似線性，故采用線性插值法。但對于某些情況，要給出更多的測量點有困難時，就必須根據(jù)實際情況在不同的區(qū)段選取不同的插值方法。H11A817A3SD   

     三種插值方法均屬計算法，所取段數(shù)越多，計算精度越高。但是，這不僅增加計算量，而且也會產(chǎn)生計算誤差。此外，在某些檢測系統(tǒng)中，有些參數(shù)的計算非常復(fù)雜，需要用較長的計算程序，占用較多的微處理器內(nèi)存單元，此時可利用查表法進行處理。