摘要：介紹一種在8096/96系列單片機(jī)上實(shí)現(xiàn)的單精度浮點(diǎn)數(shù)快速除法。該算法采用了預(yù)估一修正的數(shù)值計(jì)算方法，并充分利用了16位CPU中的乘除法指令，計(jì)算速度快、精度高，有很強(qiáng)的實(shí)用性。

    關(guān)鍵詞：浮點(diǎn)數(shù) 除法 尾數(shù) 預(yù)估-修正 誤差 精度

在較為復(fù)雜的單片機(jī)系統(tǒng)中，為擴(kuò)大取值范圍，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算和控制，一般都要涉及浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算。而一般單片機(jī)是沒(méi)有浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算指令的，必須自行編制相應(yīng)軟件。在進(jìn)行除法計(jì)算時(shí)，通常使用的方法是比較除法[1],即利用循環(huán)移位和減法操作來(lái)得到24～32位商，效率很低。有些文獻(xiàn)給出了一些改進(jìn)方法[2]，但思想不清晰，很難推廣使用。這里給出一種浮點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算的實(shí)用快速算法。該方法以數(shù)值計(jì)算中的預(yù)估-修正方法為指導(dǎo)，充分利用了16位單片機(jī)的乘除法功能，很輕易地實(shí)現(xiàn)了浮點(diǎn)數(shù)的除法。

1 浮點(diǎn)數(shù)格式

IEEE的浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了單精度（4字節(jié)）、雙精度（8字節(jié)）和擴(kuò)展精度（10字節(jié)）三種浮點(diǎn)數(shù)的格式。最常用的是單精度浮點(diǎn)數(shù)，格式如圖1所示。但是這種格式的階碼不在同一個(gè)字節(jié)單元內(nèi)，不易尋址，從而會(huì)影響運(yùn)算速度。

通常在單片機(jī)上采用的是一種變形格式的浮點(diǎn)數(shù)，如圖2所示。其中的23位尾數(shù)加上隱含的最高位1，構(gòu)成一個(gè)定點(diǎn)原碼小數(shù)，即尾數(shù)為小于1大于等于0.5的小數(shù)。有關(guān)浮點(diǎn)數(shù)格式的詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參考有關(guān)文獻(xiàn)[1][2]。

2 快速除法的算法原理

在16位單片機(jī)中只有16位的乘除法，而浮點(diǎn)數(shù)的精度（即尾數(shù)的有效位數(shù)）達(dá)24位，因此無(wú)法直接相除，但依然可以利用16位的乘除法指令來(lái)實(shí)現(xiàn)24位除法。不過(guò)，如果只進(jìn)行一次16位的除法必定會(huì)帶來(lái)很大誤差，因此問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何消除這個(gè)誤差，從而達(dá)到要求的精度。這其實(shí)就是通常數(shù)值計(jì)算中所采用的預(yù)估-修正方法。

假設(shè)兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)經(jīng)過(guò)預(yù)處理后，被除數(shù)和除數(shù)尾數(shù)擴(kuò)展為32位（末8位為0）分別放入X和Y中。鄰YL為Y的低16位，并記YH=Y-YL。顯然YH≈Y，X/Y與Y/YH相差不多：

（X/Y）/（X/YH）=(YH/Y)

=YH/(YH+YL)

=1/(1+YL/YH)

≈1-YL/YH

=(YH-YL)/YL

可見(jiàn)只需要在X/YH的基礎(chǔ)上再乘以一個(gè)修正因子（YH-YL）/YH，就可以得到X/Y的一次校準(zhǔn)值。不難證明這個(gè)值已經(jīng)達(dá)到了24位的精度要求。事實(shí)上，相對(duì)誤差滿(mǎn)足：

    這說(shuō)明這個(gè)一次校準(zhǔn)值完全可以作為最終的結(jié)果。

3 算法的具體實(shí)現(xiàn)

在具體實(shí)現(xiàn)本算法時(shí)，主要經(jīng)過(guò)下列步驟：

（1）計(jì)算預(yù)估值Q0=X/YH；

（2）計(jì)算修正因子Q1=(YH-YL)/YH;

（3）計(jì)算校準(zhǔn)值Q=Q0×Q1，并作為最后結(jié)果。

這里的YH雖仍是32