實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中常常需要計(jì)算積分，有些數(shù)值方法如微分方程和積分方程的求解，也都和   J107   
                                                        b
積分計(jì)算相聯(lián)系。依據(jù)人們所熟知的微積分基本定理，對(duì)于,I=  F(x)dx，只要找到被積函
                                                        a
數(shù)F(x)的原函數(shù)F(x)，便有牛頓一萊布尼茲(Newton-Leibniz)公式：

                    b
                     F(x)dx=F(b)-F(a)
                    a 

    但實(shí)際使用這種求積方法往往有困難，因?yàn)榇罅康谋环e函數(shù)，如sinx/x,smx2等，找不

到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)；另外，當(dāng)F(x)是由測(cè)量或數(shù)值計(jì)算給出的一張數(shù)據(jù)表時(shí)，牛頓一

萊布尼茲公式也不能直接運(yùn)用，因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。

  2.2.1數(shù)值積分

  數(shù)值積分的基本思想是構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)(如多項(xiàng)式)來(lái)近似代替被積分函數(shù)F (x)，
          b           d
然后通過(guò)求 pn(x)dx求得(x)dx的近似值。
          a            a
    就一元函數(shù)而言，求定積分等價(jià)于求函數(shù)曲線與x軸之間的面積。對(duì)于積分
    d
，I=(x)dx，最容易計(jì)算面積的幾何形狀為矩形，因此可把區(qū)間以a≤x≤6分成n個(gè)相等的
    a           d-a
子區(qū)間，其寬度Ax___，如圖2.11所示。J113  
                 n

圖2.11定積分

    當(dāng)n充分大，即Ax充分小時(shí)，可把每一個(gè)小區(qū)間對(duì)應(yīng)的
                              X1
面積近似地用矩形面積來(lái)代替，即  F(x)dx=F(X)AX，這時(shí)
                              X1-1
積分I可用下式來(lái)計(jì)算：

    在實(shí)際計(jì)算中，一般都是對(duì)時(shí)間f積分，被積函數(shù)值均由

采樣計(jì)算得到，即測(cè)量得到的為F1,F2，…，F(xiàn)n，而Ax為采樣周

期At，這樣可把式(2.12)改寫(xiě)為

                                                                       (2.13)
    在編程序計(jì)算時(shí)，可采用累加方法，即當(dāng)前的積分值等于前次積分值加上本次測(cè)量計(jì)算

值。啟動(dòng)時(shí)，積分值的初值為零。

  2.2.2數(shù)值微分

  在微處理器應(yīng)用電子系統(tǒng)中，有時(shí)會(huì)需要計(jì)算微分。例如，在測(cè)量物體的運(yùn)動(dòng)速度v或

加速度口時(shí)，就需計(jì)算微分，有
      ds          dv d2S   "
    v___s'      a=__=___=s
      dt          dt  dt2
    另外，在微處理器控制系統(tǒng)的PID調(diào)節(jié)計(jì)算中，也要計(jì)算微分。

    在微處理器系統(tǒng)中，多數(shù)情況下，微分計(jì)算無(wú)法用公式表示，并且時(shí)刻都在變化，因而

只能采用近似方法求其數(shù)值導(dǎo)數(shù)。數(shù)值微分方法通常是用相鄰節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值的某種線性組

合作為函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的近似值。常用的數(shù)值微分方法分為三類：顯格式計(jì)算方法，隱

格式計(jì)算方法及外推算法。JA3202-PS-A03  

    由泰勒級(jí)數(shù)有
  
    如不考慮高階導(dǎo)數(shù)，可得:，如果令x=X1,則有

  可改寫(xiě)成

  為提高精度，還可采用多點(diǎn)數(shù)值求導(dǎo)法。這種方法的基礎(chǔ)是插值多項(xiàng)式，即把已知點(diǎn)

x1(i=1，2，…，n)作為插值節(jié)點(diǎn)，求出F(x)的，N次插值多項(xiàng)式Pn(X)，然后用pn(x)近似代替

f(x)，并對(duì)pn(X)求導(dǎo)，就可得到F(x)的導(dǎo)數(shù)的近似表達(dá)式。實(shí)際應(yīng)用中，一般使用拉格朗

日插值多項(xiàng)式。
  對(duì)于n=l，有
 
對(duì)于n=2,有

在p2'(X)式中取x= X2，可得到一階三點(diǎn)近似求導(dǎo)公式：                                    (2.16)

如果對(duì)p2'(X)式兩次求導(dǎo)，煞后令x= X2，則可得到二階三點(diǎn)近似求導(dǎo)公式：
  
                                                                         
                                                                                    (2.17)
    生產(chǎn)過(guò)程待測(cè)參數(shù)經(jīng)傳感器及檢測(cè)電路變換成A/D轉(zhuǎn)換器所能接收的電壓信號(hào)，以便

于微處理器進(jìn)行采集和數(shù)據(jù)處理。之后為進(jìn)行顯示、記錄、報(bào)警及累計(jì)等，必須把這些數(shù)字

量轉(zhuǎn)化成與被測(cè)參數(shù)相對(duì)應(yīng)的參量，便于操作人員對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行監(jiān)視和管理，這就是所謂

的標(biāo)度變換，又稱為工程量變換。變換的前提條件是測(cè)量值與工程量的關(guān)系為線性。

2.3.1  標(biāo)度變換原理

    對(duì)于線性系統(tǒng)，假設(shè)滿足如下條件：①Ym為測(cè)量?jī)x器的上限（傳感器輸出上限）；②Yo

為測(cè)量?jī)x器的下限（傳感器輸出下限）；③Yx為測(cè)量?jī)x器的實(shí)際測(cè)量值；④Nm為儀器上限

所對(duì)應(yīng)的數(shù)字量；⑤No為儀器下限所對(duì)應(yīng)的數(shù)字量；⑥Nx為實(shí)際測(cè)量值所對(duì)應(yīng)的數(shù)字量。

則根據(jù)線性比例關(guān)系能得到即

   Ym-YO  YX-Y0
   ______=_____
   Nm - No Nx -No

    式中，Ym、Yo、Nm、No對(duì)某一固定的被測(cè)參數(shù)來(lái)說(shuō)，它們是常數(shù)，僅是不同的參數(shù)有不

同的量綱和數(shù)值而已。

     此外，為了測(cè)量方便，把被測(cè)參數(shù)的起點(diǎn)Yo所對(duì)應(yīng)的A/D轉(zhuǎn)換值一般設(shè)定為0，即No =0，因此式(2.18)改寫(xiě)為
                              Ym-Y0
                        YX=Y0=_____NX
                                 Nm
      式(2.18)和式(2.19)稱為參量標(biāo)度變換公式。

     在微處理器(單片機(jī))應(yīng)用電子系統(tǒng)中，為實(shí)現(xiàn)上述轉(zhuǎn)換，可把它設(shè)計(jì)成專用子程序。若所有被測(cè)參數(shù)所對(duì)應(yīng)的Ym、Yo、Nm、N0均已知，則當(dāng)某一個(gè)參量需要進(jìn)行標(biāo)度變換時(shí)，只要調(diào)用標(biāo)度變換子程序即可。

    例如，某熱處理爐溫度系統(tǒng)，測(cè)量?jī)x表的量程為200～800℃，在某一時(shí)刻微處理器采樣并經(jīng)8位A/D轉(zhuǎn)換后數(shù)字量為CDH。

    假設(shè)使用參量標(biāo)度變渙公式(2.19)進(jìn)行計(jì)算，則得到此時(shí)對(duì)應(yīng)的溫度為
          Ym-YO                  CDH          205
    YX=Yo+_____NX=200+(800 - 200)____=200+600X___=682℃
            Nm                   FFH          255
 
2.3.2  線性信號(hào)的標(biāo)度變換

    在測(cè)量系統(tǒng)中，被檢測(cè)參數(shù)的對(duì)應(yīng)參數(shù)Ym、Y0、Nm、No已知，并且均為常數(shù)，Nx也由A/D轉(zhuǎn)換器得到。由式(2.18)得到線性刻度的標(biāo)度變換計(jì)算公式為
            NX-NO
      YX=Y0=____(Ym-YO)
            Nm-NO
    線性信號(hào)標(biāo)度變換程序流程圖如圖2.12所示。

圖2.12線性信號(hào)標(biāo)度變換程序流程圖